质数，在《数论》上习惯称为素数（也叫做，不可约数），是一类特殊的整数。

素数被定义为：

只能被 1 和 自身整除的 正整数，但 1 除外。

（由于整数关于 0 对称，于是只要将正整数部分的研究清楚了，负整数也就清楚了，因此一般不讲负素数。）

数学家发现，任何一个正整数（1 除外），都可以唯一的表示为有限个素数的乘积，每个素数称为该整数的素因子，整个乘积称为该整数的素因子分解。例如：

6 = 2×3

当然，素因子可以重复，例如：

12 = 2 × 2 × 3

因为 如果 1 也是素数，则：

6 = 2×3 = 1×2×3 = 1 × 1 ×2×3 = ...

于是，为了，素因子分解结果唯一，我们不得不让 1 排除在 素数 之外。

素数可以理解为：乘法运算中不可再分解的数，而加法中不可再分解的数只有1。我们可以通过1不断相加得到所有正整数，同样我们可以通过素数相互不断相乘得到所有正整数（1除外）。

从正整数中找到素数是首要的问题！可以直接根据定义，一个个数判断，但这样太慢，数学家一般使用从正整数中排除不是素数的数（称为合数，1除外）的办法，称为筛选法。

如果，正整数 a > 1 的 素因子分解 为：

a = p₁ × p₂ × ... × pᵣ

则，一定存在一个素因子 p ∈ {p₁, p₂, ... pᵣ } 使得 p ≤ ʳ√a。

这个很显然！如果，每个pᵢ > ʳ√a，则 p₁ × p₂ × ... × pᵣ >( ʳ√a)ʳ = a，矛盾。

而我们知道，素数在做素因子分解时，只有一个因子，即它自己，例如：

3 = 3

而合数 最少 两个，例如：

6 = 2×3

于是 合数 a 必然存在 素因子 p ≤ √a。

于是，我们需要找出 N 内的 素数，只需要 找到 √N 内的素数，然后 用这些 素数 去判断 √N 到 N 之间的 正整数 是否是 合数，将是合数的删掉，剩下的就是 素数。这称为 Eratoschenes（埃拉托斯特尼） 筛选法。实例如下：

我们先找到 10 以内的 素数：2，3，5，7；然后 对 10 到 10² = 100 进行筛选：

用 2 筛掉：11, 12, ... , 99, 100；

用 3 筛掉：11, 13, 15, 17, ... , 97, 99；

用 5 筛掉：11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 35, ..., 95, 97；

用 7 筛掉：11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, ..., 91, 97；

于是得到：11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97；有了 100 以内 的素数，然后，对 100 到 100² = 10000 进行筛选 ...

（其实，在具体用 p 进行筛选时，只需要从 p² 开始筛选就可以了，因为 小于 p² 的数，如果具有 p 因子，则 一定具有 小于 p 的素因子，这已经被之前的小于 p 的素因子筛掉了。）

（头条里多位老师也给出了自己的筛选法，大家可以参考借鉴！）

那么，我们使用 筛选法是否可以将 素数 筛完呢？答案是不可能，因为：

素数有无穷多个。

这是一个著名定理，证明如下：

假设，素数有限，记为 p₁, p₂, ..., pᵣ 。现在，令 a = p₁ × p₂ × ... × pᵣ + 1，显然 a 不是任意 一个 素数，且 大于 2， 于是 a 必然是合数，于是存在 素数 pᵢ | a （| 表示 整除）。而 pᵢ 是 p₁, p₂, ..., pᵣ 中的一员，于是 pᵢ | p₁ × p₂ × ... × pᵣ，进而 pᵢ | (a - p₁ × p₂ × ... × pᵣ) ，即 pᵢ | 1，于是 pᵢ = 1，而 pᵢ 是素数 必然 pᵢ > 1，矛盾。

将素数从 小到大排列，记为，

p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, ...

数学家发现：

pᵣ ≤ 2^{2ʳ⁻¹}

因为：

上面那个定理的证明过程，还说明，在 pᵣ 到 a = p₁ × p₂ × ... × pᵣ + 1 之间必然有 一个 素数 pᵣ₊₁，即，pᵣ₊₁ ≤ p₁ × p₂ × ... × pᵣ + 1，利用这个结果，进行如下证明：● 当 r = 1 时，显然 p₁ = 2 ≤ 2^{2¹⁻¹} = 2¹ = 2，定理成立；● 如果 当 r ≤ i 时，命题成立，即，p₁ ≤ 2^{2⁰}, p₂ ≤ 2^{2¹}, ..., pᵢ ≤ 2^{2ⁱ⁻¹}，则 当 r = i + 1 时，根据 前面的 不等式，有：pᵢ₊₁ ≤ p₁ × p₂ × ... × pᵣ + 1 ≤ 2^{2⁰} × 2^{2¹} × ... ×2^{2ⁱ⁻¹} + 1 = 2^{2⁰ + 2¹ + ... + 2ⁱ⁻¹} + 1 = 2^{2ⁱ - 1} + 1 ≤ 2^{2ⁱ - 1} + 2^{2ⁱ - 1} = 2 × 2^{2ⁱ - 1} = 2^{2ⁱ}；归纳得证。

如果，将不超过 x 的 素数个数，记为 π(x)，则上面的命题等价于：

π(x) > log₂(log₂x)

因为：

对于任意 x ≥ 2 ，显然有 唯一正整数 r 使得：2^{2ʳ⁻¹} ≤ x < 2^{2ʳ}，● 由上面的左边不等式得到：π(2^{2ʳ⁻¹}) ≤ π(x) ，而前面已经证明了 pᵣ ≤ 2^{2ʳ⁻¹}，而 到 pᵣ 的素数 当然是 r 个 所以：r ≤ π(2^{2ʳ⁻¹})，于是，最终有：r ≤ π(x)，● 由上面的右边不等式得到：log₂(log₂x) < r，综上可到：log₂(log₂x) < π(x)。

素数的定义虽然很简单，但是确意想不到的麻烦！数学家至今依然没有找到素数在正整数中的准确分布规律。

（杨老师<@杨式素数>，在这方面很有研究，大家有兴趣可以去他那里请教。）

（黎曼猜想有助于解决素数分布问题！）

（退而求其次，数学家还发明的 伪素数的概念：

如果 n | 2ⁿ - 2，称 n 为 伪素数，如果 对于任意 整数 a 都有 n | aⁿ - a 称 n 为 绝对伪素数。

关于，伪素数分布 也是一个研究方向。）

除了 2 其它素数都是 奇数，2 是最小的素数，3 是最小的奇数素数。

两个相邻的奇数如果都是素数称为孪生素数，例如：3 和 5，5 和 7 ， 11 和 13， ...。

三个相邻奇数是素数的情况，只能是： 3，5，7 这一种情况，因为：

假设，相邻三个相邻奇数，a, b, c > 3 都是素数，其中 b = a + 2，c = a + 4。由于 a 是素数，因此 3 ∤ a（∤ 表示 不能整除）于是 a = 3n + 1 或 3n + 2。● 当 a = 3n + 1 时，b = a + 2 = 3n + 1 + 2 = 3n + 3 = 3(n+1)，显然 3 | b，故 b 不是素数，矛盾；● 当 a = 3n + 2 时，c = a + 4 = 3n + 2 + 4 = 3n + 6 = 3(n + 2)，显然 3 | c，故 c 不是素数，矛盾；

以上证明，也说明了三个以上相邻的奇数是素数不可能。

于是，研究特殊的 孪生素数 就有了价值。但是 比 素数 还不争气，数学家连孪生素数是否有无穷多个都没办法证明。

（数学家 张益唐 在这方面取得了 巨大突破！）

最后，和素数相关的一个概念是 两个整数 a, b 互素，即 a， b 之间 a ∤ b 并且 b ∤ a，两个素数一定互素，例如：

3, 5

但两个 合数 也可以 互素，例如：

9, 25

互素在代数里也同样至关重要。

(小石头对于《数论》是门外汉，头条里作这方面研究的大神众多！小石头在这里纯粹是班门弄斧，欢迎各位老师莅临指导！）

一般定义为，除1和本身外没有其它的因数的整数。

若P为质数，(2^P-2)丨P。

只能被1和它本身整除的数叫质数。世界各国的数学家和爱好者对质数的规律和性质的研究有二千多年了，发现有关质数的很多问题还没法解决 ，甚至外国数学家保罗埃尔德什在《数学之迷》一书中预言“人类要想全面了解质数，至少还需要100万年”但根据28年来我对质数规律和性质的探索，可以说质数的规律和性质不但能解决很多有关质数的数学难题，而且还有揭示人类高级文明社会活动方式和宇宙物质自然发展规律的作用。如人体的组成用质数体现有①头部有2只眼睛，2个鼻孔 ，2只耳朵，一张嘴，.即3个2，1个1 ，3.2.1是质数。②2只手，每只手有5只手.指，大姆指有2节，每余每只手指都是3节，这2，3，5都是质数③人体有31对脊神经和103对即206块骨头，31和103又是质数。观察自然界中植物园里叶脉数与质数关系更多。故揭开质数的性质意义非凡。

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